Overcoming Bias‘da ilginç bir soru var. “Avcı-toplayıcı atalarımızı, şu an sahip olduğumuz bilgilerden en çok hangisi şaşırtırdı?” Evrenin büyüklüğü, evrim, cep telefonları?
Benim cevabım: fizikalizm. Doğadaki tüm olguların fiziğin konusu olan madde ve güçlerin etkileşimlerine indirgenebilir olması. Bu tabi sadece atalarımızı değil günümüzde yaşayan pek çok insanı da şaşırtacak bi şey.. Ayrıca “şaşırmak”in, kişinin açıklama öncesi beklentilerinden bağımsız bir tanımı olmadığı için kime göre en şaşırtıcı da diyebiliriz. Örneğin ilk atomistlerden Lucretius‘un fizikalizme bakıp “şerrefsizim aklıma geldiydi” diyeceğinden şüpheleniyorum. Ama bizi insan yapan en önemli özelliklerimizden birine taban tabana zıt düştüğü için fizikalizmi aday gösteriyorum.
İnsanoğlu evrim sahnesinde ortaya çıktığından beri etrafındaki olguları madde ve maddeüstü olarak kategorize etmeye meyilli olmuştur. Açıklayamadığı olguların rastgele olduğunu düşünmektense, kendisinin vakıf olamadığı örüntülerin (pattern) sonucu olduğunu düşünmüştür. Ama tabi önemli bir açmaz var. Eğer doğadaki aktörler (aslanlar, kaplanlar, mamutlar vs.) arasında en zeki ve en başarılı örüntü-tanıyıcı aktör ben isem, ve tüm bu örüntüler benim eserim değilse, ve diğer tüm aktörler birer figüran ise, birer örüntü-itaatçisinden fazlası değilse, tüm bunlar kimin eseri olabilir ki? Bu soruya cevap vermenin en bariz yolu bir örüntü-koyucu postüle etmek, tüm üstünlüğüne rağmen insanoğlunun bile kavrayamayacağı yücelikte bir mekanizma kurgulamak. Onu yapmanın en bariz yolu da, bu örüntü-koyucu karakter kendisini görünür-duyulur, erişilebilir kılmayı seçmediği için, onun maddeüstü bir varlık olduğunu kabul etmek. Bu mekanizmalar yerleşip yeterince uzun nesiller boyunca, doğaya dair damıtılmış en önemli fikirler olarak henüz daha el kadar birer bebekken bireylerin beyinlerine kazınarak aktarıldıkça da, tanrı fikri ile geri dönüşü olmayan bir yola girmiş oluyoruz (değil mi Ahmet hocam?). Tüm imamların kökenlerinin izinin ilkel şamanlara değin sürülebileceği düşüncesinde tam tanımlayamadığım bir ihtişam var.
Irk olarak cehaletimizin tavan yaptığı o zamanların aksine, yüzlerce yıllık modern bilimsel çalışmaların, biriken gözlem ve kanıtların sonucu olarak şu an neredeyse kesin olarak biliyoruz ki, etrafımızdaki olguların tamamen doğal süreç ve etkileşimlerle açıklanamayacağını düşünmemiz için hiçbir sebep yok. Bu muazzam bir dönüşüm. Bu sebeple avcı-toplayıcı atalarımızın en çok bu dönüşüme şaşıracaklarını düşünüyorum.
Cosmic Variance‘dan Sean Carroll’ın (ki hastasıyım, takip ediniz) ilave bir sorusu var. “Peki bizler, şu anki bilgilerimiz ışığında, gelecekte en çok ne olursa şaşırırız?”
Bu soruya da, ilkine kıyasla daha tereddütlü cevabım: “fizikalizm ‘framework’ünde sistematik olarak gösterilecek eksiklikler”. Doğaüstü bi örüntü-koyucuya dair kanıtlar, sözde-bilim’in (pseudoscience) iddialarını destekleyecek kanıtlar, termodinamiğin ikinci yasasının tekrarlanabilir ihlalleri (bu Carroll’ın cevabı) gibi.. Bu cevabımda tereddütlü olmamın sebebi, fazla kapsamlı olması, fizikalizm çatısının herhangi bir yerindeki tüm çatlakları içermesi. Ama tarih itibariyle bu çatı o kadar kuvvetli ki, en ufak bir çatlak bile beni hayrete düşürecektir.
Peki kendi alanım olan matematikte durum ne? Geçmiş dönemlerde yaşayan matematikçileri en çok şu anki hangi bilgimiz şaşırtırdı? Bunun cevabı açık ara farkla Gödel’in eksiklik teoremi olmalı. “Tutarlı bir sistemde, doğru olan, fakat doğruluğu ispat edilemeyecek teoremler vardır.” Daha önceki dönemlerde hiç kimsenin bunun mümkün olabileceğini düşündüğünü sanmıyorum, bir matematikçi için kabus gibi bir şey bu. Sorun şu: matematikçinin yazılı olmayan iki düsturu vardır.
1) İspatlanan önermeler doğrudur (sistem tutarlıdır).
2) Tüm doğru önermeler ispatlanabilirdir.
İlkine Gödel’in teoreminin yukarıda alıntıladığım kısmının söyleyecek bir sözü yok, çünkü tutarlılığı varsaymış teoremde. Eğer bu düsturun yanlış olduğu gösterilseydi, yani belli aksiyom sistemlerinin çelişkilere (1=2 gibi) neden olduğu gösterilseydi, ilgili aksiyomları temel alan tüm matematiksel yapı çökerdi. Zira bir tane çelişki bulmak aslında sonsuz çelişki bulmak demek, 1=2 ise 2=4, 3=6, 4=8 vs. ad infinitum… Bir matematikçi için en kötü durum senaryosu bu.
Gödel’in yaptığı şey ise ikinci en kötü durum senaryosu. ikinci düsturun yanlış olduğunu gösterip matematikçilerin dünyasını yıkmıştır kendisi. O zamana kadar matematikçiler, eğer bir önerme doğruysa, bu doğruluğu göstermek için mutlaka bir ispat yolunun varolduğunu, yeterince sebat edilirse ve doğru semboller manipüle edilirse bu ispata ulaşılacağını düşünüyorlardı. Hatta tüm bu çalışmaları mekanize edip matematikteki tüm teoremleri bilgisayarlara buldurtmak gibi düşünceler vardı. Fakat bu noktada Gödel çıktı ve oldukça dahiyane bir yöntem kullanarak (detaylara girmeyeceğim) şöyle bir teorem inşa etti: “Bu teorem ispatlanabilir değildir.”
Yöntemi dahiyane idi, çünkü bu yaptığı şey, bir teoremin kendisi hakkında konuşması, konvansiyonel matematik kuralları uyarınca izin verilen bir şey değil. Hatta Gödel’in çalışmalarına ilham kaynağı olan Alfred North Whitehead ve Bertrand Russell’ın Principia Mathematica‘sı, başka şeylerin yanında, tam da böylesi bir öz-referansı (self-reference) yasaklamak için yazılmıştı. Whitehead&Russell matematiği paradokslardan arındırmak istiyorlardı ve öz-referansın da tüm paradoksların kaynağı olduğunu biliyorlardı. Eserlerinde de teoremlerin sadece doğal sayılar hakkında konuşmaya hakları vardı, kendilerine gönderme yapmaları bir seçenek değildi. İkili böylece hem matematiği çelişkilerden arındırdıklarını, hem de tüm matematiksel teoremlere ulaşmak için bir el kitabı hazırladıklarını düşünüyorlardı. Gödel’in ise farklı fikirleri vardı..
Gödel’in dehası öz-referansı tekrar Principia’nın içine sokmaktı. Bunu nasıl başardığının detayları gerçekten karmaşık, dolayısıyla biz öyle olduğunu kabul ederek, yaptırımlarını inceleyelim. Çünkü sonraki adım nispeten kolay.
“Bu teorem (“Principia Mathematica’da” demişti Gödel ama bizim için çok önemli değil, tüm aksiyomatik sistemler için doğru çünkü) ispatlanabilir değildir.” teoremine T diyelim. Yani, T = T ispatlanabilir değildir. Önce T’nin yanlış olduğunu varsayıp durumu değerlendirelim. Eğer bu değerlendirme bizi bir çelişkiye sürüklerse bu varsayımımızdan vazgeçip T’nin doğru olduğunu kabul etmeye zorlanacağız. Çünkü T ya doğrudur ya yanlıştır. Matematikçilerin sıklıkla kullandıkları bu ispat yönteminin adı Olmayana Ergi (Reductio Ad Absurdum).
Şimdi, T yanlışsa, T’nin tersi doğru olmalıdır. Yani T ispatlanabilir olmalıdır. Ama T tam da bunun mümkün olmayacağını söylemiyor muydu? Çelişki! Dolayısıya “T yanlıştır” varsayımımızdan vazgeçeceğiz ve T’nin doğru olduğunu kabul edeceğiz. Eğer T doğruysa, T ispatlanabilir değildir. Diğer bir deyişle, “Tutarlı bir sistemde, doğru olan, fakat doğruluğu ispat edilemeyecek teoremler vardır.”
Skandal! Matematikçiler için “örüntü= kanıtın varlığı” ilkesi parça pinçik olmuştu. Ne kadar uğraşılırsa uğraşılsın doğru teoremlerin tamamına asla ulaşılamayacak, matematik sonsuza kadar eksik kalacaktı. Kanımca “kanıt” mefhumunun kurucusu olan Öklid nefes almakta zorlanırdı bu sonuç karşısında.
Tüm bunlar hakkında sizler ne dersiniz? İlk insanlar yaşasaydı en çok neye şaşırırlardı? Diğer bilimlerde durum nedir?
15/02/2009 at 14:53
Bence en büyük süpriz evrenin başlangıcına(ya da başlangıcının olup olmadığına) dair herkesin üzerinde uzlaşabileceği objektif veriler ışığında modellerin kurulabiliyor olması olacaktır. Geçmişte her kültürün kendi inancı ile paralel mitlerden oluşan “kozmoloji masalları”, artık yerini bilimin sağladığı güçlü araçlarla gözlenebilir ve üzerinde tahminler yapılabilir evren modellerine bırakmıştır… Bu da bence bilimin ve insanlığın en büyük başarılarından biridir..
Bu görüşün aslında yazınızda bahsettiğiniz fizikalizm ile de yakından ilişkili olduğu söylenebilir.
Matematik konusunda verdiğiniz örnek tam da bu sıralar okuduğum John Barrow’un “Olanaksızlık” kitabıyla aynı zamana denk geldi.. Gödel’in ortaya attıkları konusunda kafası karışanlar listesine beni de ekleyebilirsiniz; bunu sindirmek biraz zaman alacak gibi..
07/03/2009 at 00:59
Avcı-toplayıcı atamızı bugün sahip olduğumuz bilgilerden hiçbiri şaşırtmazdı çünkü bu bilgilerin hiçbiri tam olarak kavrayamazdı. Atamıza fizikalizm desek doğa desek madde desek bize onlar ne yenir mi derdi. Hatta hiçbir şey demez direkt mızrağı sokardı. Aradaki binlerce seneyi atlamayalım lütfen :)
Benim cevabım insanlar, evler, arabalar, etrafında ne görüyorsa onlar. Kavramlara, düşüncelere, bilgilere değil somut şeylere şaşırırdı ama mızrağı yine de sokardı. Herif avcı-toplayıcı, kanında var.
07/03/2009 at 01:40
Bilemiyorum abi, bu kadar küçümseme bence, bana anlarlardı gibi geliyo.. İletişebilecek, kadar gramerli bi dil sahibi iseler, soyut düşünceye ucundan da olsa girmiş iseler (bunlar bence aynı madalyonun iki yüzü tabi) elbet bi şekilde anlatırdık bence, ki ben zaten ancient near east’ten ( http://en.wikipedia.org/wiki/Ancient_Near_East ) hemen önceki insan gruplarını kastederek yazmıştım, tarım devrimi zamanındaki veya hemen öncesindeki insanları. Homo Sapiens 100-250 bin yıldır var olduğunu düşünürsek 10bin yıl önce soyut düşünce baya bi yol almıştır diye düşünüyorum. Fizikle fizik ötesi ayrımına ihtiyaç duyacak kadar felsefeyle ilgilenmeleri yeterli benim amaçlarım için.. Mızrağı bi tarafıma saplamıyacak olduklarını, zaman yolculuğu makinemizi görünce büyücü olduğumuzu düşünüp bizi yakmadıklarını varsayıyoruz haliyle, pratik zorluklar felsefenin itinayla iplemedeği şeyler, biliyosun.. :))
Bi de matematikte şu andan sonra potansiyel olarak gerçekleşebilecek hangi sonuç bizi en çok şaşırtır sorusunu cevaplamayı unutmuşum. Bu tabi Gödel’inki kadar ezici bi çoğunluk tarafından kabul edilir mi bilmiyorum matematik zaamiasında, ama duyunca “evet kesinlikle” diyecek onlarca kişinin varolduğundan eminim (“hö?” diyecek binlerce, milyonlarca faniyi de ilgili yazılarla aydınlatmaya çalışacağımdır ilerde inşallah): Kritik çizginin dışında bir Riemann sıfırı (a Riemann zero off the critical line).
07/03/2009 at 03:41
Duymussunuzdur belki ama ben yine de link’i atayim, insanlarin tanri temelli aciklamalari benimseme sebeplerinden biriyle ilgili, evrimsel bir yaklasim:
http://en.wikipedia.org/wiki/Agent_detection
Bu arada, Godel’in vardigi sonuclarin sasirticiliginda garip bir estetik yan da mevcut, Hofstadter Ustad’dan da ogrendigimiz gibi :) Ozellikle onermeleri sayilarla kodlama fikri mukkemmel bir atlayis. Matematik zaamiasinda hem boyle guzel hem de boyle “tehlikeli” [ve umut kirici? Russell'larin Hilbert'lerin cani ne yanmistir be abi] baska bir teorem var midir bilmiyorum :)
Hangi matematiksel sonucun bizi cok sasirtacagi hakkinda ise aklima ilk Fermat’nin son teoremi geliyor. Gerci Godel’inki gibi devrimci bir niteligi yok, ayrica nasil olsa ispatlandi ama nedense bana cok daha basit ve kivrak (kivrak??) bir ispati daha varmis gibi geliyor. Heh, aslinda kendimle celismis oldum simdi, “Basit ve kivrak bi ispati cikarsa sasirmam” demeye getiriyorum ama bir yandan da sasirticiliktan bahsediyorum, neyse, durduk yere olmayana ermenin luzumu yok diyerek devam etmek istiyorum :) Ikiz asallar, Goldbach hipotezi, Collatz hipotezi.. genel olarak sayilar teorisindeki basit iddialar hakkindaki guzel ispatlar da sasirtici olabilir. Ya da en manyagindan, asal sayilarin gizemiyle ilgili bir teorem de [asal sayi teoremi saylanmaz! :)] kesinlikle sasirtici olur :)
Bu arada 2, su Riemann Hipotezi’ni bi ara iyice anlatsan super olur be. Ben soyle biraz bakip hemen tirstiydim :)
Neyse, guzel bi yazi olmus ustad, eline saglik.
07/03/2009 at 04:21
Yoo abi gayet haklısın, o bahsettiğin sorulara basit (elementer) çözümler bulunursa kalpten giden birkaç matematikçi olur sanırım, şaşırmak bi yana.. Özellikle Riemann Hipotezine, ispat çalışmalarının odak noktaları bu kadar dallanıp budaklanmışken, böylesi bi ispat bulunursa çok şaşırtıcı olur gerçekten. Ama hiiiç ihtimal vermiyorum buna, yani fizikalizm çöker bu gerçekleşmez. 150 yıldır konuya kafa yormamış üst düzey matematikçi kalmadı. Fizikçiler bile uğraşıyo uzunca bi süredir.
Tesadüfe bak ki az önce Riemann Hipotezini konu alan bi kitabı bitirdim (gerçi konuyu ben açtığım için tesadüf sayılmaz di mi?), işi gücü bırakıp onu ispatlamaya mı çalışsam diyorum, öyle gaza geldim.. Kitap şu: Music of the Primes. Kesinlike tavsiye ediyorum. Bundan önce de yine Hipotezi konu alan Prime Obsession’ı okumuştum. İlkininin yazarı bi matematikçi, Marcus Du Sautoy, ikincisinin yazarı ne iş yapar ben de tam anlamadım ama ismi John Derbyshire. İkisinin de artıları eksileri var ama ikisi de lay person olarak tabir ettiğimiz hedef kitlesine hitaben yazıldığı için gayet okunabilitesi olan kitaplar. Hatta bizim gibi işin içine ucundan da olsa girmiş, terminolojiyi, ispat mantığını anlamış insanlar için biraz fazla bile sulandırılmışlar. İlk kitap analojiler üzerinden gidiyo sürekli (asalların müziği, deniz seviyesindeki sıfırlar, davulların titreşimi), “ulan ben bunun orijinalini anlamıştım, şimdi benzetme yapınca kafam karıştı bi saniye” diyesin geliyo, ikincisi direk Hipotezi anlatıyo ama işini sağlama alıp hiç bi okuyucuyu kaybetmemek için üs alma işleminin nasıl yapıldığını, logaritmayla dört işlemi falan bile uzun uzun anlatıyo.. Her ikisi de olayın tarihi boyutunu eşzamanlı olarak anlatıyo, orasını çok sevdim, görmüş olduk ne yiğitler telef olmuş bu uğurda. İki kitap sürdü ama sanırım anladım sorun nedir, ne değildir. Bi de nasıl çözüleceğini anlatsalarmış keşke, acı verici bi anticlimax’le bitiyo ikisi de, romanın sonunu bilmesen “kesin çözmüşlerdir bu kadar uğraştan sonra” diye okuyosun ama yok.. Hatta uğraşan insanlar o kadar temkinli ki, John Derbyshire’la, röporaj yaptığı önemli bi şahsiyet (Andrew Odlyzko) arasında şöyle bi diyalog geçiyo:
JD: Andrew, you have gazed on more non-trivial zeros of the Riemann zeta function than any person alive. What do you think about this darn Hypothesis. Is it true, or not?
AO: Either it’s true, or else it isn’t.
JD: Oh, come on, Andrew. You must have some feeling for an answer. Give me a probability. Eighty percent it’s true, twenty percent it’s false? Or what?
AO: Either it’s true, or else it isn’t.
I could get no more from him than that.
07/03/2009 at 14:56
Amca bot gibi “Either it’s true, or else it isn’t.” tekrarlayip durmus ya ona yanarim :)
Prime Obsession’a ben de kutuphanede gezerken denk gelmistim. O aralar sayilar teorisindeki bu tarz cozulememis problemlere takmistim, hatta kendi kendime asal sayilarla ilgili bi hipotez bulup bilgisayarda kontrol ettirme girisimine bile bulasmistim [Bazi matematikcilerin "iyy" diyebilecegi bi yontem, farkindayim ama napayim be abi sezgilerim o kadar kuvvetli degil, mecburen bilgisayarda test etmenin cekiciligine kapildim :)]. Isin aci yani, bi noktaya kadar kontrol ettirip “Aha, dogru lan” sonucuna ulasmamdan sonra literaturu arastirinca zamaninda baska bi matematikci tarafindan ortaya atilmis oldugunu ama yanlislandigini kesfettim. “Haydaa..” dedim kendi kendime, ardindan koda bi daha goz attim ve anladim ki hatali. Uzulduydum :)
[Neyse, bu da bi sey en azindan :)]
Senin yazdiklarini okuyunca, Riemann Hipotezi’nin de Fermat’ninkine benzer bir bicimde uzun ve detayli bir ispata sahip olacagindan suphelenmeye basladim. Kisfmet :)
28/03/2009 at 17:33
Hem fiziksel hem matematiksel olarak beni en çok şaşırtacak şey NP=P eşitliğinin doğrulanması olurdu. Sadece matematik ve hesapla ilgilenenleri değil pratik sonuçları açısından sokaktaki insanı da en çok şaşırtacak şey olarak NP=P’yi aday gösteririm ben.
09/04/2009 at 07:28
“Güneş” hakkında bizim bildiklerimizi bilseler çok şaşırırlardı herhalde.