Overcoming Bias‘da ilginç bir soru var. “Avcı-toplayıcı atalarımızı, şu an sahip olduğumuz bilgilerden en çok hangisi şaşırtırdı?” Evrenin büyüklüğü, evrim, cep telefonları?

Benim cevabım: fizikalizm. Doğadaki tüm olguların fiziğin konusu olan madde ve güçlerin etkileşimlerine indirgenebilir olması. Bu tabi sadece atalarımızı değil günümüzde yaşayan pek çok insanı da şaşırtacak bi şey.. Ayrıca “şaşırmak”in, kişinin açıklama öncesi beklentilerinden bağımsız bir tanımı olmadığı için kime göre en şaşırtıcı da diyebiliriz. Örneğin ilk atomistlerden Lucretius‘un fizikalizme bakıp “şerrefsizim aklıma geldiydi” diyeceğinden şüpheleniyorum. Ama bizi insan yapan en önemli özelliklerimizden birine taban tabana zıt düştüğü için fizikalizmi aday gösteriyorum.

İnsanoğlu evrim sahnesinde ortaya çıktığından beri etrafındaki olguları madde ve maddeüstü olarak kategorize etmeye meyilli olmuştur. Açıklayamadığı olguların rastgele olduğunu düşünmektense, kendisinin vakıf olamadığı örüntülerin (pattern) sonucu olduğunu düşünmüştür. Ama tabi önemli bir açmaz var. Eğer doğadaki aktörler (aslanlar, kaplanlar, mamutlar vs.) arasında en zeki ve en başarılı örüntü-tanıyıcı aktör ben isem, ve tüm bu örüntüler benim eserim değilse, ve diğer tüm aktörler birer figüran ise, birer örüntü-itaatçisinden fazlası değilse, tüm bunlar kimin eseri olabilir ki? Bu soruya cevap vermenin en bariz yolu bir örüntü-koyucu postüle etmek, tüm üstünlüğüne rağmen insanoğlunun bile kavrayamayacağı yücelikte bir mekanizma kurgulamak. Onu yapmanın en bariz yolu da, bu örüntü-koyucu karakter kendisini görünür-duyulur, erişilebilir kılmayı seçmediği için, onun maddeüstü bir varlık olduğunu kabul etmek. Bu mekanizmalar yerleşip yeterince uzun nesiller boyunca, doğaya dair damıtılmış en önemli fikirler olarak henüz daha el kadar birer bebekken bireylerin beyinlerine kazınarak aktarıldıkça da, tanrı fikri ile geri dönüşü olmayan bir yola girmiş oluyoruz (değil mi Ahmet hocam?). Tüm imamların kökenlerinin izinin ilkel şamanlara değin sürülebileceği düşüncesinde tam tanımlayamadığım bir ihtişam var.

Irk olarak cehaletimizin tavan yaptığı o zamanların aksine, yüzlerce yıllık modern bilimsel çalışmaların, biriken gözlem ve kanıtların sonucu olarak şu an neredeyse kesin olarak biliyoruz ki, etrafımızdaki olguların tamamen doğal süreç ve etkileşimlerle açıklanamayacağını düşünmemiz için hiçbir sebep yok. Bu muazzam bir dönüşüm. Bu sebeple avcı-toplayıcı atalarımızın en çok bu dönüşüme şaşıracaklarını düşünüyorum.

Cosmic Variance‘dan Sean Carroll’ın (ki hastasıyım, takip ediniz) ilave bir sorusu var. “Peki bizler, şu anki bilgilerimiz ışığında, gelecekte en çok ne olursa şaşırırız?”

Bu soruya da, ilkine kıyasla daha tereddütlü cevabım: “fizikalizm ‘framework’ünde sistematik olarak gösterilecek eksiklikler”. Doğaüstü bi örüntü-koyucuya dair kanıtlar, sözde-bilim’in (pseudoscience) iddialarını destekleyecek kanıtlar, termodinamiğin ikinci yasasının tekrarlanabilir ihlalleri (bu Carroll’ın cevabı) gibi.. Bu cevabımda tereddütlü olmamın sebebi, fazla kapsamlı olması, fizikalizm çatısının herhangi bir yerindeki tüm çatlakları içermesi. Ama tarih itibariyle bu çatı o kadar kuvvetli ki, en ufak bir çatlak bile beni hayrete düşürecektir.

Peki kendi alanım olan matematikte durum ne? Geçmiş dönemlerde yaşayan matematikçileri en çok şu anki hangi bilgimiz şaşırtırdı? Bunun cevabı açık ara farkla Gödel’in eksiklik teoremi olmalı. “Tutarlı bir sistemde, doğru olan, fakat doğruluğu ispat edilemeyecek teoremler vardır.” Daha önceki dönemlerde hiç kimsenin bunun mümkün olabileceğini düşündüğünü sanmıyorum, bir matematikçi için kabus gibi bir şey bu. Sorun şu: matematikçinin yazılı olmayan iki düsturu vardır.

1) İspatlanan önermeler doğrudur (sistem tutarlıdır).

2) Tüm doğru önermeler ispatlanabilirdir.

İlkine Gödel’in teoreminin yukarıda alıntıladığım kısmının söyleyecek bir sözü yok, çünkü tutarlılığı varsaymış teoremde. Eğer bu düsturun yanlış olduğu gösterilseydi, yani belli aksiyom sistemlerinin çelişkilere (1=2 gibi) neden olduğu gösterilseydi, ilgili aksiyomları temel alan tüm matematiksel yapı çökerdi. Zira bir tane çelişki bulmak aslında sonsuz çelişki bulmak demek, 1=2 ise 2=4, 3=6, 4=8 vs. ad infinitum… Bir matematikçi için en kötü durum senaryosu bu.

Gödel’in yaptığı şey ise ikinci en kötü durum senaryosu. ikinci düsturun yanlış olduğunu gösterip matematikçilerin dünyasını yıkmıştır kendisi. O zamana kadar matematikçiler, eğer bir önerme doğruysa, bu doğruluğu göstermek için mutlaka bir ispat yolunun varolduğunu, yeterince sebat edilirse ve doğru semboller manipüle edilirse bu ispata ulaşılacağını düşünüyorlardı. Hatta tüm bu çalışmaları mekanize edip matematikteki tüm teoremleri bilgisayarlara buldurtmak gibi düşünceler vardı. Fakat bu noktada Gödel çıktı ve oldukça dahiyane bir yöntem kullanarak (detaylara girmeyeceğim) şöyle bir teorem inşa etti: “Bu teorem ispatlanabilir değildir.”

Yöntemi dahiyane idi, çünkü bu yaptığı şey, bir teoremin kendisi hakkında konuşması, konvansiyonel matematik kuralları uyarınca izin verilen bir şey değil. Hatta Gödel’in çalışmalarına ilham kaynağı olan Alfred North Whitehead ve Bertrand Russell’ın Principia Mathematica‘sı, başka şeylerin yanında, tam da böylesi bir öz-referansı (self-reference) yasaklamak için yazılmıştı. Whitehead&Russell matematiği paradokslardan arındırmak istiyorlardı ve öz-referansın da tüm paradoksların kaynağı olduğunu biliyorlardı. Eserlerinde de teoremlerin sadece doğal sayılar hakkında konuşmaya hakları vardı, kendilerine gönderme yapmaları bir seçenek değildi. İkili böylece hem matematiği çelişkilerden arındırdıklarını, hem de tüm matematiksel teoremlere ulaşmak için bir el kitabı hazırladıklarını düşünüyorlardı. Gödel’in ise farklı fikirleri vardı..

Gödel’in dehası öz-referansı tekrar Principia’nın içine sokmaktı. Bunu nasıl başardığının detayları gerçekten karmaşık, dolayısıyla biz öyle olduğunu kabul ederek, yaptırımlarını inceleyelim. Çünkü sonraki adım nispeten kolay.

“Bu teorem (“Principia Mathematica’da” demişti Gödel ama bizim için çok önemli değil, tüm aksiyomatik sistemler için doğru çünkü) ispatlanabilir değildir.” teoremine T diyelim. Yani, T = T ispatlanabilir değildir. Önce T’nin yanlış olduğunu varsayıp durumu değerlendirelim. Eğer bu değerlendirme bizi bir çelişkiye sürüklerse bu varsayımımızdan vazgeçip T’nin doğru olduğunu kabul etmeye zorlanacağız. Çünkü T ya doğrudur ya yanlıştır. Matematikçilerin sıklıkla kullandıkları bu ispat yönteminin adı Olmayana Ergi (Reductio Ad Absurdum).

Şimdi, T yanlışsa, T’nin tersi doğru olmalıdır. Yani  T ispatlanabilir olmalıdır. Ama T tam da bunun mümkün olmayacağını söylemiyor muydu? Çelişki! Dolayısıya “T yanlıştır” varsayımımızdan vazgeçeceğiz ve T’nin doğru olduğunu kabul edeceğiz. Eğer T doğruysa, T ispatlanabilir değildir. Diğer bir deyişle, “Tutarlı bir sistemde, doğru olan, fakat doğruluğu ispat edilemeyecek teoremler vardır.”

Skandal! Matematikçiler için “örüntü= kanıtın varlığı” ilkesi parça pinçik olmuştu. Ne kadar uğraşılırsa uğraşılsın doğru teoremlerin tamamına asla ulaşılamayacak, matematik sonsuza kadar eksik kalacaktı. Kanımca “kanıt” mefhumunun kurucusu olan Öklid nefes almakta zorlanırdı bu sonuç karşısında.

Tüm bunlar hakkında sizler ne dersiniz? İlk insanlar yaşasaydı en çok neye şaşırırlardı? Diğer bilimlerde durum nedir?

About these ads